بحث رياضيات عن اللوغاريتمات للصف الحادي عشر 2024.

طريقة رياضية لحل مسألة باستخدام أسلوبحسابي أبسط بشكل متكرر. ومن الأمثلة الواضحة على ذلك عملية القسمة المطولة فيالحساب.
ولقد جاء علم اللوغاريتمات متأخرا عن معظم العلوم الرياضية الأوليةباعتباره معتمدا عليها. وحيث أن الفكرة الأساسية لهذا العلم تعتمد على تحويل عمليتي الضرب والقسمة المعقدتين إلى عمليتي جمع وطرح، فلقد كان الوصول إليها متزامنا منعدة أوجه. ففي القرن الخامس الهجري / الحادي عشر الميلادي وضع ابن يونس قانونهالمعروف في علم حساب المثلثات الذي يقضي بتحويل عملية الضرب إلى عملية جمع. وكانالقانون على الصيغة التالية:
جتا أ جتا ب =2 / 1 [جتا (أ + ب ) + جتا ( أ- ب)]
وهو الذي يقضي بتحويل عملية الضرب إلى عملية جمع، فكان بذلك واضعا أول حجر فيتطوير علم اللوغاريتمات.
وفي القرن العاشر الهجري / السادس عشر الميلادي توصلابن حمزة المغربي إلى إيجاد العلاقة بين المتواليتين الحسابية والهندسية. وقد شكلتنتائجه هذه حجر الأساس الذي اعتمد عليه العالم نابير الأسكتلندي لتطوير علماللوغاريتمات.
ويطلق مصطلح اللوغاريتمات الآن على أنواع عديدة من حل المشاكلباستخدام سلسلة من الخطوات الميكانيكية كما هو الحال في تنصيب برنامج كمبيوتر. وقدتعرض هذه السلسلة في مخطط مسار البرنامج بحيث يسهل اتباع الخطوات الواردة بها.
وكما هو الحال في اللوغاريتمات المستخدمة في الحساب، تتراوح اللوغاريتماتالمستخدمة في الكمبيوتر بين البساطة والتعقيد الشديد، إلا أنه يجب تحديد المهمةالتي ينبغي للوغاريتمات أن تؤديها على أي حال من الأحوال، بمعنى أنه قد يحتويالتعريف على مصطلحات رياضية أو منطقية أو تجميع للبيانات أو التعليمات المكتوبة،ولكن يجب أن تكون المهمة المطلوبة ذاتها مذكورة بطريقة أو بأخرى. وباستخدام مصطلحاتالكمبيوتر المعتادة، فإن هذا يعني أنه يجب أن تكون اللوغاريتمات قابلة للبرمجة حتىولو ثبت أن المهام نفسها لا يمكن الوصول فيها لحل.
وفي أجهزة الكمبيوتر المركببها دائرة كمبيوتر دقيقة، تعتبر هذه الدائرة نوعا من أنواع اللوغاريتمات. وحيث أنأجهزة الكمبيوتر تزداد تعقيدا ، فإن عددا أكبر وأكبر من لوغاريتمات برامج الكمبيوترتأخذ شكل ما يعرف باسم البرامج التي تتحكم في الأجهزة، بمعنى أنها تصبح جزءا مندائرة الكمبيوتر الأساسية أو أنها تكون ملحقات ترفق بالجهاز بسهولة أو أنها تكونبمفردها في أجهزة خاصة مثل ماكينات جدول الرواتب في المكاتب. والآن هناك أنواعكثيرة مختلفة من لوغاريتمات البرامج التطبيقية كما أن نظما متقدمة جدا مثللوغاريتمات الذكاء الاصطناعي قد تصبح من الأمور الشائعة في المستقبل.

ابنيونس (000-399هـ / 000 -1009م)
أبو الحسن علي بن عبد الرحمن بن أحمد بن يونسالصدفي، فلكي ومؤرخ اشتهر في القرن الرابع الهجري / العاشر الميلادي. ولد في مصرلأسرة عرفت بالعلم، فوالده عبد الرحمن كان من أكبر المؤرخين في مصر ومن أشهرعلمائها. وجده يونس بن عبد الأعلى كان من أصحاب الإمام الشافعي، ومن الذين أمضوامعظم وقتهم في دراسة علم الفلك، ولذا يعتبر من المتخصصين في علم النجوم .
نبغابن يونس في علم الفلك، في عهد العزيز بالله الفاطمي وابنه الحاكم بأمر الله ، وقدشجعه الفاطميون على البحث في علم الهيئة والرياضيات فبنوا له مرصدا على صخرة أعلىجبل المقطم، قرب القاهرة ، وجهزوه بأفضل آلات وأدوات الرصد، وقد رصد بكل نجاح كسوفالشمس وخسوف القمر عام 368 هـ / 978 م. وعلى الرغم أن ابن يونس كان يعمل في مرصدالقاهرة باستقلالية تامة عمن عاصروه من الفلكيين، إلا أنه وصل لنفس النتائج التيوصل إليها فلكيو بغداد في أرصادهم مما يؤكد أن علم الفلك كان متقدما في هذه الفترةفي كل أرجاء الدولة الإسلامية، إلا أن أعماله الفلكية كانت أول سجل أرصاد دون بدقةعلمية ملحوظة، مما جعل فلكيي عصره ومن جاءوا من بعدهم يتخذونها مرجعا يرجعون إليه.
وقد كان لابن يونس مجهودات علمية متعددة هي التي أعطته الشهرة العظيمة منهارصده لكسوف الشمس لعامي 368هـ / 977 م و 369هـ / 978 م، فكانا أول كسوفين سجلا بدقةمتناهية وبطريقة علمية بحتة. وقد استفاد منها في تحديد تزايد حركة القمر . كما أنهأثبت أن حركة القمر في تزايد (في السرعة). وصحح ميل دائرة البروج وزاوية اختلافالمنظر للشمس ومبادرة الاعتدالين.
وقد أظهر ابن يونس براعة كبرى في حل الكثيرمن المسائل الصعبة في علم الفلك الكروي، وذلك باستعانته بالمسقط العمودي للكرةالسماوية على كل من المستوى الأفقي ومستوى الزوال. كما أن ابن يونس أول من فكر فيحساب الأقواس الثانوية التي تصبح القوانين بها بسيطة، فتغني عن الجذور التربيعيةالتي تجعل الحسابات صعبة.
ومن أبرز إنجازاته أيضا، مساهمته في استقلالية علمحساب المثلثات عن الفلك، فاهتم ابن يونس به اهتماما بالغا وبرع فيه. ولقد قام بحسابج يب الزاوية بكل دقة، كما أوجد جداول للظلال وظلال التمام. كما ابتكر طريقة جديدةسهل بها كل العمليات الحسابية.
أما أهم إنجازات ابن يونس العلمية على الإطلاقهو اختراعه الرقاص . وكان قد أمضى معظم حياته في دراسة حركة الكواكب التي قادته فيالنهاية إلى اختراع الرقاص، الذي يحتاج إليه في معرفة الفترات الزمنية في رصدالكواكب، ثم استعمل الرقاص بعد ذلك في الساعات الدقاقة.
وقد ترك ابن يونس عددامن المؤلفات معظمها في الفلك والرياضيات من أهمها كتاب الزيج الحاكمي كتبه للحاكمبأمر الله الفاطمي وهو أربعة مجلدات، وكتاب الظل وهو عبارة عن جداول للظل وظلالتمام، وكتاب غاية الانتفاع ويحتوي على جداول عن السمت الشمسي، وقياس زمن ارتفاعالشمس من وقت الشروق وجداول أوقات الصلاة، وكتاب الميل وهو عبارة عن جداول أوضحفيها انحراف الشمس، وكتاب التعديل المحكم وهو معادلات عن ظاهرة الكسوف والخسوف،وكتاب عن الرقاص . كما أن له كتابين آخران أحدهما في التاريخ وهو بعنوان تاريخأعيان مصر ، والآخر في الموسيقى وهو بعنوان العقود والسعود في أوصاف العود .
فرعمن فروع الرياضيات يعالج العلاقات بين أضلاع وزوايا المثلثات والخصائص والتطبيقاتالعملية للدوال المثلثية، وينقسم حساب المثلثات إلى فرعين: حساب المثلثات المستويةويتعامل مع أشكال تقع بأكملها في مستوى واحد وحساب المثلثات الكروية ويتعامل معالمثلثات التي تعتبر جزءا أو مقطعا من سطح كرة.
وقد كانت أولى التطبيقاتالعملية لحساب المثلثات في مجالات الملاحة والمساحة والفلك حيث كانت المشكلة الكبرىفي كل هذه المجالات تحديد مسافة غير معلومة مثل المسافة بين الأرض و القمر أو مسافةلا يمكن حسابها بصورة مباشرة مثل المسافة التي تغطي بحيرة كبيرة. ومن بين التطبيقاتالعملية الأخرى لحساب المثلثات استخدام هذا العلم في الفيزياء والكيمياء وكل فروعالهندسة تقريبا خاصة في دراسة الظواهر المتكررة مثل الموجات الصوتية أو تدفق تيارمتناوب.
وتعرف الدوال الستة المثلثية الأكثر استخداما على النحو التالي:
جاأ = ر / س، جتا أ = ر / ص ، ظا أ = س / ص
ظتا أ= ص / س، قا أ = س / ر، قتا أ =ص / ر
حيث أن (ر) وتر المثلث وكل من (س) و(ص) ضلعيه، وأن ر2 = س2 + ص2 حسبنظرية فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية. وأن (س) و(ص) لا يتغيران إذا أضيفت الزواياالدائرية (2 ط) على الزاوية، بمعنى أنه إذا أضيف 360ْ إلى الزاوية فإن جا (أ + 2 ط) = جا أ ، وهناك عبارات أخرى تنطبق على الدوال الخمس الأخرى. وتعتبر ثلاثة من هذهالدوال عكس الثلاثة الأخرى بمعنى أن:
ظتا أ = ظا أ / 1 ، قا أ = جتا أ / 1 ،قتا أ = جا أ / 1
وإذا كانت أ، ب، ج هي الزوايا الثلاثة لمثلث، وكانت س ص ع هيالأضلاع المقابلة الخاصة بكل من هذه الزوايا، بالتالي يمكن إثبات أن:
جا أ / س = جا أ / ص = جا أ / ع
ويمكن أن تأخذ قوانين جيب التمام (جتا) والمماسات أشكالاأخرى بالتناوب بين الحروف الزوايا (أ ب ج) والأضلاع (س ص ع).
ويمكن استخدام هذهالعلاقات الثلاثة في حل أي مثلث بمعنى أنه يمكن الوصول إلى الزوايا أوالأضلاعالمجهولة عند معرفة: ضلع واحد وزاويتين، أو الضلعين والزاوية المحصورة بينهما، أوضلعين وزاوية مقابل أي منهما (عادة ما يكون هنالك مثلثان في هذه الحالة) أو كلالأضلاع الثلاثة.
نبذة تاريخية
يعود تاريخ حساب المثلثات إلى أقدم ما دونعن الرياضيات في مصر وبابل، حيث قاس البابليون الزوايا بالدرجات والدقائق والثواني.وحتى عصر اليونانيين، لم يوجد أي تطور ملحوظ في حساب المثلثات، وفي القرن الثانيقبل الميلاد، وضع الفلكي هيباركوس جدول مثلثي لحل المثلثات، حيث بدأ بــ 7.5ْ حتىوصل إلى 180ْ بدرجات مقدارها 7.5ْ، وقد أعطى الجدول لكل زاوية طول الوتر المقابللهذه الزاوية في دائرة ذات نصف قطر ثابت ر. ومثل هذا الجدول مكافئ لجدول الجيب ،ولم تكن القيمة التي استخدمها هيباركوس لنصف القطر (ر) محددة، ولكن بعد مضي 300 عاماستخدم الفلكي بطليموس (ر)= 60 لأن اليونانيين قد أخذوا نظام الأرقام الستينيةالبابلي.
وقد ذكر بطليموس في كتابه المجسطي جدول أوتار لدرجات النصف من صفر إلى 180ْ وهي تعادل (3600 / 1 ) من الوحدة، كما أنه قد شرح أيضا طريقة عمله لجدولالأوتار هذا، وفي عرضه للكتاب ذكر أمثلة عديدة على كيفية استخدام الجدول للتوصل إلىالأجزاء المجهولة من المثلثات من خلال الأجزاء المعروفة، وقد ذكر بطليموس ما يعرفالآن باسم نظرية مينيلوس لحل المثلثات الكروية، ولقرون عديدة كان ما دونه بطليموسفي حساب المثلثات المقدمة الأساسية للموضوعات التي يتناولها أي فلكي.
وفي نفسعصر بطليموس تقريبا، طور الهنود نظاما لحساب المثلثات يعتمد على دالة الجيب وليسعلى دالة الوتر التي اعتمد عليها اليونانيون، وعلى عكس الدالة الحديثة، لم تكن دالةالجيب هذه نسبة وإنما كانت ببساطة طول الضلع المقابل للزاوية في مثلث قائم الزواياذي وتر ثابت محدد، هذا وقد استخدم الهنود قيما متعددة لوتر المثلث القائم الزاوية.
وفي نهاية القرن الثاني الهجري / الثامن الميلادي، ورث الفلكيون المسلمونالتراث اليوناني والهندي واستخدموا دالة الجيب، وبحلول نهاية القرن الرابع الهجري /العاشر الميلادي، كانوا قد أكملوا الجيب والدوال الخمس الأخرى، كما وضعوا العديد منالنظريات الأساسية في حساب المثلثات تتعلق بكل من المثلثات المستوية والكروية.
فقد رأى البيروني أن الفترات المتساوية بين الزوايا لا تقابلها تغيرات متساويةفي النسب المثلثية ، فأثبت صحتها بالطرق الهندسية، وقام بعمل جداول للجيب لكل ربعدرجة بدلا من الجداول المعروفة آنذاك، وقد قام بإيجاد طول الوتر في دائرة يقابلزواية قدرها 40ْ عند المركز، وكان هدفه إيجاد الأوتار التي تقابل من الدورة الكاملةثلثها وربعها وخمسها، وقد تمكن من استنتاج قوانين مبسطة لحساب قيم هذه الأوتار فيماعدا وتري السبع والتسع، كما استنتج قوانين لوتر مجموع زاويتين أو الفرق بينهما أوقيمة نصف الزاوية مستخدما طريقة التقريب المتتابع.
ثم طور الطوسي من نظريات جيبالزاوية إلى ما هي عليه الآن مستعملا المثلث المستوي، وعمل في ذلك الجداول الرياضيةله ، كما قدم قاعدة الأشكال المتتامة وهي الصورة المبسطة لقانون الجيوب الذي يقضيبأن جيوب الزوايا تتناسب مع الأضلاع المقابلة لها.
أما الكاشي فقد حسب جداولجيب الدرجة الأولى، واستخدم ذلك في معادلة ذات الدرجة الثالثة في معادلاته المثلثيةويقول في ذلك: " إذا علم جيب قوس، وأريد معرفة جيب ثلاثة أمثالها، يضرب مكعب ذلكالجيب في أربع ثوان، وينقص الحاصل من ثلاثة أمثاله، فالباقي هو الجيب المطلوب"وصورة ذلك على مايلي:
(جا 3س = 4جا س2 – 3جا س).
كما توصل المسلمون أيضاإلى المثلث القطبي للمثلثات الكروية، وقد طبقت كل هذه الاكتشافات في أغراض فلكية،واستخدمت كوسيلة مساعدة في حساب الوقت فلكيا، وفي التوصل إلى اتجاه مكة المكرمةلأداء الصلوات الخمس التي فرضتها الشريعة الإسلامية، كما توصل العلماء المسلمون إلىجداول ذات دقة عالية، فعلى سبيل المثال الجداول التي وضعوها للجيب والمماس كانتدقيقة جدا بنسبة أكبر من جزء واحد من 700 مليون.
وقد اهتم الطوسي بعلم حسابالمثلثات الكروية اهتماما بالغا ووصل فيها شأوا، فكان أول من قدم المتطابقاتالمثلثية للمثلث الكروي قائم الزاوية. أما ابن يونس فقد ابتكر القانون المعروف فيحساب المثلثات
(جتا أ جتا ب =2 / 1 [ جتا (أ + ب ) + جتا ( أ- ب)])
الذييقضي بتحويل عملية الضرب إلى عملية جمع، فكان بذلك واضعا أول حجر في تطوير علماللوغاريتمات. ولقد اشتغل البتاني بالأعمال الفلكية الموجهة إلى حساب المثلثات،وكان يستخدم الجيوب بانتظ ام مع يقين واضح من تفوقها على الأوتار التي استعملهاالإغريق من قبل. وقد أكمل إدخال دوال الظل وظل التمام، وعمل جدولا لظل التمامبدلالة الدرجات على أساس العلاقة (ظتا أ = جتا أ / جا أ). كما عرف العلاقة بينالأضلاع والزوايا في المثلث الكروي العام والتي يعبر عنها بالمعادلة
(جتا أ =جتاب. جتا جـ + جا ب. جا جـ).
وبعد ذلك، تعرف الغرب على ما صاغه المسلمون فيعلم حساب المثلثات من خلال ترجمة كتب الفلك العربية وقد بدأت حركةالترجمة في القرنالثاني عشر، وقد كان أول عمل غربي يكتب في هذا الموضوع من تأليف الفلكي والرياضيالألماني يوهان مولر وقد سمى كتابه ريجيو مونتانوس .
وفي القرن التالي، توصلالفلكي الألماني جورج يوأخيم المعروف باسم ريتيكس إلى المفهوم الحديث لدوال حسابالمثلثات على أنها نسب وليست أطوال خطوط معينة. أما الرياضي الفرنسي فرانسوا فيتيفقد أدخل المثلث القطبي في حساب المثلثات الكروية وقد ذكر الصيغ المتعددة الزواياللجيب وجيب التمام من خلال قدرة الجيب وجيب التمام.
وقد خطا حساب المثلثاتخطوات كبيرة إلى الأمام في أوائل القرن السابع عشر على يد عالم الرياضياتالأسكتلندي جون نابير الذي اخترع اللوغاريتمات، كما اخترع أيضا بعض القوانينالمساعدة للذاكرة لحل المثلثات الكروية وكذا بعض النسب لحل المثلثات الكرويةالمائلة.
وبعد نصف قرن تقريبا من نشر نابير للوغاريتمات التي وضع أسسها ابنيونس، توصل إسحاق نيوتن إلى حساب التفاضل والتكامل. وكان من ضمن الأساسيات التياعتمد عليها هذا العمل تقديم نيوتن للعديد من الدالات على أنها متسلسلات لا نهائيةفي قدرات (س). ومن ثم فقد توصل نيوتن إلى متسلسلة الجيب (س) ومتسلسلة مماثلة لجيبالتمام (س) وظا (س). ومع اختراع حساب التفاضل والتكامل، أعيد النظر في تحليل الدوالالمثلثية حيث ما زالت تلعب دورا هاما في كل من الرياضيات البحتة والتطبيقية.
وأخيرا، وفي القرن الثامن عشر، عرف الرياضي السويسري ليونهارد يولر الدوالالمثلثية على أنها أعداد مركبة، وقد أدى هذا إلى أن جعل مادة حساب المثلثات بأكملهاتطبيقا واحدا من التطبيقات العملية الكثيرة للأعداد المركبة، وأظهر أن القوانينالأساسية للرياضيات مجرد نتائج لحساب هذه الأعداد
ابن حمزة المغربي (القرن 10هـ / 16 م)
علي بن ولي المعروف بابن حمزة المغربي، عالم رياضي اشتهر في (القرنالعاشر الهجري – السادس عشر الميلادي). وهو مؤسس علم اللوغاريتمات. ولد بالجزائر منأب جزائري وأم تركية حيث أحسن أبوه تأديبه وتعليمه طوال فترة تنشئته.
تعلم ابنحمزة في صباه القرآن وحفظ الحديث ، وأظهر موهبة كبيرة في علم الرياضيات. فلما وصلالعشرين من عمره لم يكن بالجزائر معلم أهل له فعزم الأب أن يرسله إلى إستانبول عندأهل أمه ليتعلم هناك العلم على يد علماء عاصمة الدولة العثمانية.
عرف ابن حمزةخلال فترة دراسته بحسن السيرة والسلوك وجودة القريحة، ولقد وصل ابن حمزة مرتبةعالية في إستانبول حتى ألحق بعمل كخبير في الحسابات بديوان المال في قصر السلطانالعثماني. كما هيأه إتقانه اللغتين العربية والتركية أن يدرس علوم الرياضيات لأبناءإستانبول والوافدين عليها من أبناء الدولة العثمانية.
وأثناء تدريسه عرف ابنحمزة كأحد العلماء الذين يتحرون الدقة والصدق في الكتابة والأمانة في النقل ولقدلقب بالنساب لأنه كان ينسب كل مقالة أو بحث إلى صاحبه بل فوق ذلك ينوه بفضله. فقدنوه عن العلماء الذين نقل عنهم فكان يقدم الشكر والعرفان لكل من نقل عنهم مثل سنانبن الفتح، و ابن يونس ، و ابن الهائم ، وأبو عبد الله بن غازي المكانسي المغربي، والكاشي ، و نصير الدين الطوسي ، و النسوي وغيرهم.
مكث ابن حمزة في منصبه حتىبلغه وفاة أبيه، فاستقال من عمله رغبة في أن يرعى أمه التي أصبحت وحيدة. وفيالجزائر عمل ابن حمزة في حوانيت أبيه التي كان يؤجرها لتجار صغار فترة من الزمن.لكنه ما لبث أن باعها، كما باع البيت أيضا، وذلك بعد أن قرر أن ينتقل هو وأمه إلىمكة المكرمة لأداء فريضة الحج والإقامة بجوار البيت الحرام .
وفي مكة جلس ابنحمزة لتدريس علم الحساب للحجاج فكان من المدرسين المتميزين في هذا المجال. وكان ابنحمزة يركز في تدريسه المسائل الحسابية التي يستعملها الناس كل يوم، وكذلك المسائلالتي تدور حول أمور الإرث.
وفي ذات يوم سأله أحد الحجاج الهنود عن مسألة فيالإرث احت ار الرياضيون الهنود فيها. فقام ابن حمزة بمهارة فائقة لم يسبقه إليهاأحد من قبل برسم جدول سلمي أوضح فيه نصيب كل من الورثة، وقد عرفت هذه المسألةبالمكية.
ولما بلغ الوالي العثماني بمكة حل هذه المسألة، طلب منه أن يعمل فيديوان المال، فمكث فيه نحو خمسة عشر عاما. وخلال تلك الفترة عكف ابن حمزة على دراسةالمتواليات العددية والهندسية والتوافقية دراسة عميقة قادته في نهاية المطاف إلىوضع أسس علم اللوغاريتمات وهو العلم الذي خدم العلوم التطبيقية خدمة عظيمة. وقد وضعابن حمزة أفكاره هذه في كتابه المشهور تحفة الأعداد لذوي الرشد والسداد .